图片

之前的一篇著述“解释黎曼猜思的新几何，把数学之好意思展现得长篇大论，配置数学之梦”提到，黎曼ζ函数是L函数的最浅易示例：

图片

那么，L函数是什么呢？数学的中枢中有一个相配深化的主题，叫作念对偶性（duality）。在线性代数中，有向量和它们的对偶对象，叫作念泛函（functional）。在量子力学中，有bra和ket。在群论中，有共轭类（conjugacy classe）和弗成约默示（irreducible representation）。在数论中，有素数和L函数。

图片

底下是一个相配非形势化的解释：L函数是与素数对偶的对象。咱们将会获取一个更精准的对于L函数的界说，看两个浅易的例子。

L函数的两个例子

黎曼ζ函数不错被写为：

图片

这里，分子齐是1。一般的L函数不错被写为：

图片

其中这些分子是一些数的序列：

图片

这些数在这个序列中被称为L函数的狄利克雷系数（Dirichlet coefficients）。

这是一个L函数的例子：

1,1,0,1,2,0,0,1,1,2,0,0,2,0,0,1,2,1,0,2,0,0,0,0,3,2,0,...

这短长常相配零星，委果是神奇的序列之一，偶合是一个L函数好像是一个L函数的系数。你能看出这个序列中的规章吗？能斟酌出下一个数字好像接下来的10个数字吗？

底下是一个更复杂的L函数的例子：

1,-1,-2,1,0,2,1,-1,1,0,0,-2,-4,-1,0,1,6,-1,2,0,-2，0,0,2,-5,4,…

这里的规章是什么？

上头两个序列是Motivic L函数的例子，这是从多项式方程构造的L函数。第一个例子是从方程x宽泛加1等于0构造的L函数。咱们用字母K标志这个方程。

图片

第二个例子是从以下方程构造的L函数，咱们用字母E标志这个方程。

图片

当我说“从……构造”，是指一种机器，它以一个方程作为输入，生成一个序列作为输出。

淌若你思先把这个机器当作一个黑盒子来对待，不错借助Sage软件。对于第一个方程，只需要键入这一溜代码：

图片

这里的变量是x。这个特定的方程界说了所谓的数域（NumberField），咱们条目这个数域的前20个L函数系数。

对于第二个方程，你不错输入这个代码：

图片

在这里咱们看不到本色的方程，而是简写成"14. a5"。这个方程界说了一个叫作念椭圆弧线（elliptic curve）的东西，然后求前20个系数。

这篇著述的主要目标是研究这两个L函数，解释这些序列奈何从方程中出现，找到其中的基础模式（规章）。这些模式将是数学家所称的朗兰兹操办（langlands program）的实例。

LMFDB

在咱们深入这两个序列的具体情况之前，我思先给你们看一下LMFDB，即L函数和模子形势数据库（L-functions and modular forms database）。

在LMFDB中，你会找到L函数以及产生L函数的对象。

图片

你不错看到椭圆弧线，数域。在名东谈主堂里，有黎曼zeta函数，拉马努金delta函数等等。当今，点击网页左上角的“Universe” ，你会看到：

图片

在这里，咱们看到了这个驰名的图片，展示了朗兰兹操办中不同数学天下之间的讨论。最上头是L函数。L函数不错被视为孤立的实体，但咱们频繁以为L函数是由某个其他对象构造的。而这些其他对象，我可爱称之为原始对象。在这张图片中，咱们不错看到三大类的原始对象。Motivic world在右边，Automorphic world在左边，伽罗瓦默示不才面。是以每个原始对象齐会产生我方的L函数。

在数学中，Motive是一种笼统对象，用于长入和默契代数几何中多样不同的同态类。它们被以为是数学中的粒子”，是一种用于研究和默契更复杂数学结构的器具。Motive的倡导来自于亚历山大·格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）在1960年代的一些思法，这些思法目标是为了惩处一些基础问题，包括一些来自数论和代数几何的问题

当今，还是有两个Motive了，因为任何多项式方程齐不错被视为一个Motive。是以K是一个Motive，E亦然一个Motive。

图片

Motivic K有它的L函数“L下标K” ，

图片

对于E亦然雷同的，

图片

这即是咱们刚刚看到的那两个数字序列。当今，被称为“朗兰兹互换（langlands reciprocity）”的猜思说，当有一个Motivic L函数，也即是从右边（Motivic world）过来的L函数，不错从左边（Automorphic world）找到一个Automorphic对象，能给出不异的L函数。

图片

淌若有一个Motivic L函数，而且你告捷地解释了一个对应的Automorphic对象存在，那么L函数就具有所谓的解析延拓和函数方程。这反过来意味着，不错研究特定的L函数的黎曼假定。到目下限定有以下的主要不雅点：

这里存在着质数和L函数之间的对偶性，不错这么默契：每个L函数不错被视为某个希尔伯特空间中的一个向量。然后，每个质数不错被视为对偶希尔伯特空间中的一个向量。

存在一种机器，它以多项式方程作为输入，产生L函数作为输出。

回到这两个例子，K和E，以及它们的L函数。

K的奥密性

让咱们看一下等一个L函数。这个L函数的序列是：

1,1,0,1,2,0,0,1，……

让咱们把这些数字放入一个表格，

图片

第一个2是在a_5这里。在a_25这里有一个3。首先的项是1,1,0,1,2。我思给出一个奈何从等式x^2+1=0构造这个序列的简化解释。咱们知谈，x^2+1=0用于从实数过渡到复数。咱们要作念的是从实数首先，引入一个新的数字，称之为i，其性质是i^2+1=0。使用加法和乘法这两个运算，不错生成更多的数字，系数这些数字加在沿途，称之为R与i的并集，好像用一个零星的象征C默示，即是复数。

当今，咱们不错再作念一次不异的事情，但此次从整数首先，而不是实数。是以，像夙昔一样引入新的数字i，洽商系数不错通过乘法和加法产生的数字。这些数字的集合被写稿Z与i的并集，

图片

莫得零星的象征默示它们，它们被称为高斯整数（Gaussian integers）。复数不错被视为一个二维平面。然后高斯整数即是具有整数系数的点的子集。举例3+2i或2-i，是以系数网格的交点齐是高斯整数。

图片

界说：一个高斯整数a加bi的范数（Norm）即是a宽泛加b宽泛。举例，3+2i的范数是

图片

当今让咱们狡计几个小的高斯整数的范数。0的范数是0，1的范数是1，i的范数亦然1。1+i的范数是2，2的范数是4，2+i的范数是5。就这么接续下去。

图片

当今让咱们数一数，有些许点的范数是1，整个有四个点，

图片

但是有一个轨则，那即是当一个点不错通过90度旋转酿成另一个点时，他们就被以为是吞并个点。是以这四个点，它们只行动一个，这个轨则来自于乘以i等同于旋转90度的事实。

是以，范数为1的点有一个。范数为2的也唯唯一个点。范数为3的点则莫得。范数为4的点在图片上有两个，但它们被行动吞并个。范数为5的点有两个。范数为6和7的点齐莫得，当今你可能还是认出了这个序列：1101200。

图片

让咱们看下25，它有三个点，

图片

这在一定进程上解释了方程x^2+1=0奈何产生序列1101200……，这即是K的L函数。

图片

是以咱们还是从方程过渡到了L函数。当今有两个主要的挑战。

最初，还绝交易看出如安在作假际狡计高斯整数的情况下狡计序列的下一项或接下来的10项。有莫得递归或某种轨则不错字据前边的项生成下一个项呢？

第二，咱们以某种方式从方程x^2+1=0获取了L函数。有莫得一种顺序不错告成获取L函数，而不使用方程呢？

望望这个：

图片

我所作念的是将这个序列写在顶部，然后顺从一个步地。这个步地是一个轮回，先减去，然后复制后果。

取第一个顶部元素1，减去底下写的系数内容，底下莫得东西，是以1减去莫得东西即是1，然后将1的副本散播在第一溜：

图片

在第二列，取顶部元素1，减去底下系数内容。1-1即是0，然后将0的副本散播在第2行，以2为间距。

图片

第三列，取顶部元素0，减去底下系数内容。0-1=-1，然后将-1的副本散播在第3行，以3为间距，以此类推。

图片

第四列，有1-1-0=0，

图片

第五列，获取的是2-1，也即是1。

图片

然后0减这些数字，即是0，以此类推。

图片

让咱们接续：

图片

你看到规章了吗？望望对角线：

1、0、-1、0、

1、0、-1、0、

1、0、-1、0。

这即是规章。咱们当今不错用这个浅易的周期性对角线重构L函数，只需按相背的所在操作。是以我最初填写对角线，然后像之前一样在行平分填写副本，减法的反操作是加法，是以我只需要将每一列朝上乞降就不错获取顶部的元素。1的和是1，1和0的和是1，1加-1是0，1加0加0是1，1加1是2，以此类推。

图片

这么，咱们压根莫得使用方程K，咱们用一个更浅易的对象，即对角线，重构了L函数。

当今这个对角线本色上是一个automorphic L函数。它是当然界中最浅易的自守L函数之一，咱们使用这个automorphic对象，以某种意旨上与黎曼zeta函数沿途，重构了原始的Motivic L函数，其中系数是1、1、1、1、1、1、1、1、1、1。

图片

E的奥密之处

朗兰兹操办。咱们需要再给出一个例子。回思一下从方程E得出的序列。方程是：

图片

L函数是：

图片

皇冠hg86a

这台机器经受一个方程，给出一个序列，这在前边的例子中使用高斯整数的计数刻画。在这个例子中，我将用不同的谈话刻画不异的机器。

当今咱们将对不同的质数p进行模p解方程的计数。

对于任何正整数m，每当有一个带有整数系数的多项式方程时，就不错狡计模m的解的数目，咱们从模2首先。

在这个例子中，先对方程的双方进行因式认识会更快。

图片

模2意味着x和y只然而0和1。系数的狡计齐是在模2下完成的，是以举例1+1=0。

右边老是零，因为x好像x加1齐是0。

图片

因此左边也必须是零，那么可能是当y为0时，然后x不错是任何值，0或1。

图片

好像，淌若y是1，那么括号里的值必须为零，这唯独在x为0时才会发生。

总的来说，模2下有三个解：

图片

当y为0时，x不错是任何值，当y为1时，x为0。而解的数目，3，恰是咱们思要找的。

当今让咱们狡计模3下的解的数目。

x和y将是0，1或2。

系数的狡计齐是在模3下完成的。右边是三个运动整数的乘积，其中一个会是0。因此系数这个词乘积齐是0，是以左边也必须是0。当今，要么y是0，x不错是任何值，要么y是1，那么括号里的必须为0，这意味着x是1。终末，y不错是2，那么x必须是0。

总的来说，有五个不同的解稳妥模3的方程。

大巴黎因为上赛季结束后续约姆巴佩，直接让球队工资和空间来到了财政公平原则的危险边缘了。虽然大巴黎一直就是受到了关照，但是太明显的违规显然还是会被惩罚的，所以这次大巴黎也需要让这三位巨星的签约等待到了7月份。这名球员的签约薪资和财务将会计算到2023-2024赛季之中。

图片

下一个质数是5，解的计数雷同，仅仅更多的分类责任。模5下会有5个解。

把这些情况作念成一个大的表格：

图片

第一溜是n：1、2、3、4、5、6、7、8、9等等。第二行是质数p：2、3、5、7、11、13。在这些质数底下是解的数目。模2有3个解。模3有3个解等等。

咱们的目标是从这些解的数目中构造出L函数，将这个经过分为三步。最初对于质数，只需用质数自己减去解的数目。2减3等于-1，3减5等于-2，5减5等于0等等。终末一个是13减17，等于-4。

图片

对于任何方程，可能会有某些质数不同。咱们称它们为坏质数，对于这个方程E，不错狡计出，坏质数是2和7。我在这里莫得展示狡计经过。

第二步，对于质数的幂。对于2的幂（1、2、4、8），2是一个坏质数，对于坏质数的轨则是，质数的幂对应的值应该是一个几何序列，从1首先。是以有1、-1，然后再有1，然后-1，这会在2的系数幂之间轮换出现1和-1。

图片

对于3的幂，3是一个好的质数，轨则略略复杂一些，但是有一个递归公式不错求出3的幂对应的值，这在本例中为取-2（3对应的值）的宽泛，也即是4，然后减去质数3。这获取了9的值为1。

图片

第三步，对于剩下的n的值，通过乘法性来狡计。举例，对于数字6，6是2乘以3，是以为了狡计我需要的数字，需要取-1（2对应的数字）乘以-2（3对应的数字），获取了2。对于10，10是2乘以5，需要取-1乘以0，获取的是0。终末，淌若我将12认识为质数的乘幂，获取的是4乘以3，是以需要取-2乘以1，获取了-2。

最终的后果是：

图片

当今，咱们还是从不同质数模下的解计数中构造出了L函数。这个经过委果适用于任何方程。最初是质数，然后是质数的幂，然后是系数其他的数字。

但是仍然靠近着和前边的例子中一样的两个主要挑战。最初，有莫得一种轨则，不错狡计出序列中的下一个元素，其次，有莫得一种顺序不错告成获取L函数，而不需要使用方程？

这里需要借助一些“硬币”来解释接下来的问题。 

图片

红色硬币的面额是1、2、3、4、5、6、7……

蓝色硬币的面额是2、4、6、8、10、12……

黄色硬币的面额是7、14、21、28……

绿色硬币的面额是14的倍数。

轨则是每种类型的硬币齐有无尽多。

假定我要给你1块。有些许种方式？唯唯一种方式，给你一枚红色的一块钱硬币。

假定我要给你2块。有些许种方式？

图片

不错给你两个红色1块钱，好像一个红色的2块钱，好像一个蓝色的2块钱，一共有3种不同的方式。

那3块钱呢？

图片

有4种不同的方式。

将系数这些组合情况放入一个表格中。

图片

从0块钱首先，唯唯一种方式，那即是不给你任何硬币。2块钱3种方式，3块钱4种方式，然后是9、12、23、32、55、76、122等等（这是一个斐波那契数）。

底下是一个频繁的乘法表：

图片

也许你会说这很败兴，但是望望对角线之和：

图片

他们是1、4、10、20……。让咱们用两个轨则来构造一个新的、更令东谈主欢快的乘法表。

最初，一边是这些硬币组共计数，1、1、3、4、9、12、23。第二个轨则，对角线之和应该是序列：1、0、0、0、0、0、0、0……

第一个对角线之和应该是1，是以我这里需要一个1。这意味着我必须把1放在顶部，因为1乘以1是1。然后是1乘以3是3，1乘以4是4，等等：

图片

当今第二个对角线之和应该是0。

这意味着第一溜第二列是-1，然后顶部应该是-1。这么不错填写出第二列：

图片

最终的后果是：

图片

咱们还是使用硬币构建了L函数，而且再次，这个经过的引东谈主防范的地方在于，咱们构建了E的L函数，却十足莫得使用方程。

当今，你可能会说，对于更大的n，比如20块钱，组合的数目擢升3000个，这种硬币计数变得相配耗时。

但是，咱们不错用生成序列的谈话来再行刻画这个硬币问题，有了这个器具，就很容易狡计很大的数。这个L函数的生成序列是：

图片

回来一下，咱们不错从方程E中得出L函数，也不错通过十足不同的顺序构建它。

本色上，这个生成序列是一个automorphic 对象。更准确地说，它是一个模形势（modular form），它给你的L函数与方程疏导，而方程是一个椭圆弧线（elliptic curve）的例子。

对于朗兰兹操办

我思谈谈更大的图景。

今天的朗兰兹操办，包括了令东谈主头昏脑胀的很多不同的分支，但原始的主要分支，告成与L函数讨论，不错被称为全局数域（Global number fields），而这个主要分支包括两个主题。

图片

一个主题是函子性（Functoriality）；另一个主题是互惠性（Reciprocity）。互惠抒发的思法是，任何motivic对象齐有一个相应的automorphic 对象，具有疏导的L函数。对应讨论的两侧的对象齐有一个维度，偶而被称为秩。朗兰兹的互惠是对于任何维度的对象的声明，1、2、3、4、5等等。椭圆弧线和模子形势之间的对应讨论，因为费马大定理而终点出名，是二维朗兰兹互惠的一部分。这即是咱们思通过第二个例子，称为E，来抒发的。

图片

在一维，朗兰兹互惠包括了被称为阿廷互惠（Artin reciprocity）的东西，阿廷互惠的最浅易情况是二次互惠，高斯发现的。他称之为黄金定理。咱们今天的第一个例子，K，是二次互惠定律的一个零星的案例，是以在某种意旨上，它是一维朗兰兹互惠的最浅易的案例。

淌若你思读一些对于朗兰兹操办相配易于默契的东西，我会推选Edward Frenkel写的这本《Love and Math》2024年uG环球在线，它是令东谈主难以置信的秀好意思。